Irregular semi-convex gradient systems perturbed by noise and application to the stochastic Cahn–Hilliard equation

We prove essential self-adjointness of Kolmogorov operators corresponding to gradient systems with potentials U such that DU is not square integrable with respect the invariant measure (irregular potentials). An application is given to the Cahn– Hilliard–Cook equation in dimension one. In this case the spectral gap is proved for the correspondig semigroup. We also obtain a log-Sobolev inequality.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé On étudie certains opérateurs de Kolmogorov associés à des systèmes de type gradient ayant un potentiel U tel que DU n’est pas de carré intégrable par rapport à la mesure invariante (potentiels irréguliers). On montre que ceux-ci sont essentiellement auto-adjoints. On applique ensuite les résultats obtenus au cas de l’équation de Cahn–Hilliard–Cook en dimension 1. Dans ce cas, une inégalité de type log-Sobolev est établie ainsi que l’existence d’un trou spectral pour le semigroupe associé.  2003 Elsevier SAS. All rights reserved.